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アレックス・タバロック 「角谷静夫 ~経済学徒の間で一番有名な日本人数学者~」(2004年8月19日)

●Alex Tabarrok, “Kakutani is at rest”(Marginal Revolution, August 19, 2004)


「角谷の不動点定理」と言えば、経済学を学ぶ多くの大学院生にとって悩みの種となっているが、その定理を証明した日本人数学者である角谷静夫が、先日1 92歳で亡くなった。「角谷の不動点定理」は、「ブラウワーの不動点定理」を一般化したものであり、説明するのは厄介だ。しかし、ブラウワーの不動点定理については、いくつかの例を用いてそのエッセンスを語ることは可能だ。例えば、以下の問題を考えてみてほしい。

とある仏僧(仏教の僧侶)が、日の出と同時に、登山を開始した。横幅が1~2フィートあるかないかの細い山道は、らせんを描くように山頂まで続いている。山頂では、寺院がきらめている。ある時は早足で、またある時はゆっくりなペースで(歩く速度を変えながら)、山頂にある寺院を目指して歩みを進める仏僧。休憩や食事(メニューはドライフルーツ)のために途中で何度も足を止めながらも、日の入り直前に、遂に寺院に到着。断食や瞑想の修業のために、山頂の寺院で数日を過ごした後、仏僧は、日の出と同時に、寺院を後にした。登山時と同じ道を、登山時と同じように(つまりは、歩く速度を変えながら、途中で何度も足を止めながら)下山する仏僧。登山時と同じようにとは言っても、平均的な歩行速度は下山時の方が速いことは言うまでもない。

さて、ここで問題。登山時と下山時とで、仏僧が同じ時刻に通過する山道上の地点が存在することを証明せよ。

証明を求められている命題は真(true)なのだが、かなりビックリだね。というのも、仏僧は歩く速度を変えながら山を上り下りしているわけだが、それにもかかわらず、ブラウワーの不動点定理によると、下山している仏僧が登山時と同じ時刻に山道上の同じ地点にいるってことが起こるってんだから。この問題には簡単な証明が存在するのだが、それは最後に残しておくことにして、その前に2次元・3次元世界における不動点定理の含意(インプリケーション)をいくつか見ておくことにしよう。

横8インチ×縦11インチの紙を2枚用意し、その2枚をピッタリと重ね合わせるとしよう。この時、上にある紙のどの点も、下にある紙の点とピッタリ対応することになる。ここで、上の紙を好きなようにクシャクシャに丸めて、再びもう一枚の紙の上に(はみ出さないように)置いてみよう。ブラウワーの不動点定理によると、この時、先の場合(2枚の紙をピッタリと重ね合わせた場合)と変わらず、動かないままの点――先の場合(2枚の紙をピッタリと重ね合わせた場合)と同じ位置で重なる点――が存在することになるのだ。

最後の例として、カップに注がれたコーヒーを思い浮かべてもらうとしよう。コーヒー内の点は、3次元空間上の点ということになる。ここで、コーヒーをかき混ぜるとしよう。ブラウワーの不動点定理によると、コーヒーをかき混ぜる前と後とで、その位置を変えない点が少なくとも一つは存在することになるのだ。

興味深い例はこのくらいにしておこう。「ブラウワーの不動点定理」と、その拡張版である「角谷の不動点定理」は、ナッシュ均衡の存在証明をはじめとして経済学の分野で幅広く利用されている。

角谷に関する興味深いトリビアをいくつか紹介して締め括るとしよう。角谷は、はじめから数学の道に進んだわけではなく、父親の意向もあって、高校では文系を選択したらしい。また、彼の娘は、ニューヨーク・タイムズ紙で書評を担当している、あのミチコ・カクタニ(角谷美智子)女史である。

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最初に取り上げた仏僧の例の直感的な証明はこうである。仏僧が二人いて、そのうちの一人はこれから登山を開始しようとしており、もう一人はこれから(山頂から)下山を開始しようとしているとしよう。二人が同じ日に、日の出と同時に出発した場合、その日のいずれかの時間帯で、二人は山道のどこかの地点で遭遇することになるはずだ! Q.E.D.(証明終了)

  1. 訳注;角谷氏が亡くなったのは、2004年8月17日。このエントリーは、その直後の2004年8月19日に執筆されたもの。 []

Comments

  1. 文系だけど僧侶の問題の証明はすぐわかったわ。
    それよりもコーヒーかき混ぜの例題がわからん。
    仮にコーヒーの粒が順番に空間に
     [a][b][c][d][e][f]
    という具合で並んでいたとして、aをスプーンですくい取って一番最後に押し込んだら
     [a] ← [b][c][d][e][f]
     [b][c][d][e][f] ← [a]
     [b][c][d][e][f][a]
    となって、一つも座標が重なってない気がするんだが。

    もしかしてコーヒーは水飴状のネバネバした液体で、ごくごく細くつながっており、かき混ぜる程度では決して切り分けることはできないっていう前提なのかな。でもそれってコーヒーじゃないよね…

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